1  2  Contents

基本概念 ---- 命題的介紹

        若一個敘述可以斷定其對或錯，我們便稱它為命題；即使現在無法判斷是對或是錯，只要原則上能得到答案，這個敘述就可稱為命題。例如：

「明天上午八點新竹市會下雨。」

雖然在講這句話時還不能確定它是否正確，可是一到明天上午八點，我們就能確定其對錯。所以，這是一個很清楚的命題。我們稱一個對的命題的真偽值為「真」，一個錯的命題的真偽值為「偽」。

        我們通常以 p, q 等符號代表命題變數，也就是可以取得真或偽二值的符號。若 p 為一命題變數，我們用「非 p」表示p的否定，以「~p」的符號表示；若 p 為真則 ~p 為偽，反之若 p 為偽，則 ~p 為真。例如：「明天上午八點新竹市會下雨」之否定為「明天上午八點新竹市不會下雨」。這個關係，可以利用表（稱為真偽值表）表示：

p	~p
真 偽	偽 真

        我們可以利用連接詞將兩個命題結合，造出新的命題。一個連接詞是「且」，例如「我運動而且我喝安佳脫脂奶粉」。對於二個命題變數 p, q，新命題「p 且 q」叫做 p 和 q 的聯言命題（conjuction），以 pq 表示。pq 的真偽值表如下：

p	q	pq
真 真 偽 偽	真 偽 真 偽	真 偽 偽 偽

另一個連接詞是「或」，例如：「我要吃魚或者我要吃牛肉」，若 p, q 為二個命題變數，「p 或 q」叫做 p 和 q 的選言命題（disjuction）以 pq 表示。pq 的真偽值表如下：

p	q	pq
真 真 偽 偽	真 偽 真 偽	真 真 真 偽

        聯言命題及選言命題之否定為何呢？先看看下面的真偽值表：

p	q	pq	~p	~q	~ (pq)	(~p)(~q)
真 真 偽 偽	真 偽 真 偽	真 真 真 偽	偽 偽 真 真	偽 真 偽 真	偽 偽 偽 真	偽 偽 偽 真

 

p	q	pq	~p	~q	~ (pq)	(~p)(~q)
真 真 偽 偽	真 偽 真 偽	真 偽 偽 偽	偽 偽 真 真	偽 真 偽 真	偽 真 真 真	偽 真 真 真

由上面的真偽值表，我們可以看出：無論 p, q 之真偽值為何，~ (pq) 和 (~p)(~q) 的真偽值都相同。

        如果無論其各個命題變數之真偽值為何，兩個命題型式的真偽值都相同，我們便稱這兩個命題型式等價，並以「」表示等價關係。例如：

~(~p)  p
~( pq)  (~p)(~q)
~( pq)  (~p)(~q)
 

        無論 p 是否為真，p(~p) 一定為真，而 p(~p) 一定為偽。一個無論其命題變數之真偽一定為真的命題型式我們稱之為恆真命題（tautology），而一個無論其命題變數之真偽一定為偽的命題型式我們稱之為恆偽命題（contradiction）或矛盾命題。

        一般口語上的「或」常有兩者其中之一的意思，這在邏輯語言中是錯誤的。以上面「我吃魚或者我吃牛肉」這個敍述為例，如果我吃魚，命題「我吃魚或我吃牛肉」為真；同樣的，如果我吃牛肉，則「我吃魚或我吃牛肉」為真。但是，如果我貪心一點，吃魚也吃牛肉，「我吃魚或我吃牛肉」仍然為真。

        邏輯上表示兩者之一的連接詞，中文可以用「要嘛…要嘛…」，例如「要嘛我吃魚，要嘛我吃牛肉」，表示我吃魚或者我吃牛肉，但是吃魚就不吃牛肉，吃牛肉就不吃魚。資訊業者把這個連接詞稱為 exclusive or，並發明了新的字 EXOR 來表示之。由下面的真偽值表我們可以得知「p EXOR q」和 ( pq)(~( pq)) 等價。

p	q	pq	pq	~ (pq)	(pq)(~ (pq))
真 真 偽 偽	真 偽 真 偽	真 真 真 偽	真 偽 偽 偽	偽 真 真 真	偽 真 真 偽

 
        各位可以利用真偽值表驗證下列的等價情形：

(pq)r    p(qr)      結合律（Associative laws） (pq)r    p(qr)

p(qr)    (pq)(pr)      分配律（Distributive laws） p(qr)    (pq)(pr)

　

(動動腦之解答篇)