白啟光

序

        不論我們喜歡或不喜歡，也不論我們是否注意到，我們的周遭充滿了數字。以今天我個人的經驗為例：

        早上醒來，時鐘上顯示的數字，告訴我時間是早或是晚，是否該起床? 起床後，高興地發現蝴蝶蘭的花又多了 2 朵；早餐：1 杯咖啡，2 片吐司；開車到學校，眼中不時留意著儀表板上的數字 (時速如果大於 80，可能會接到罰單，那表示 1500 元的罰款…)；中午開會，討論評分辦法─又是數字；晚上得去育賢國中參加社大的開學典禮及上課，心想 6:30 PM 是下班時間，一定會塞車，20 分鐘到得了育賢國中嗎? 還是須要 30 分鐘? 星期五下午社大的助理告訴我報名人數已達 39 人，天呀 ！真是一個驚人的數字啊！我本來以為只會有小猫二、三隻。今天上課問卷調查要用的問卷，我準備了 45 份，不知道夠不夠? 我可不希望第一天就出現"赤"字。數字，都是數字！

        報紙上談到，應該在樂透彩券上加註：頭獎的中獎機率為五百二十四萬分之一。的確，頭獎的中獎機率為 = ，是五百二十四萬分之一左右。但是人們看到這個數時，是如何解讀這個訊息? 5245786 到底有多大? 比台北市人口的兩倍還要多，大約是新竹市人口的15倍。這又代表什麼? 人們對於了解極大和極小的數字，並不在行。大的數字看起來都差不多：5000000 和 500000 差別在那兒? 且不論所須的資本，換個角度看樂透彩的問題：說如果把所有的號碼都簽下，不就一定會中頭獎嗎? 沒錯。但是，如果簽一張樂透需要5秒鐘，那麼要把全部號碼都買下，大約需要 607 天，也就是一年半左右 (1.66 年)。還沒簽完，獎已經開過一百七十幾次了！若以人海戰術，大約需要二百多人，而且要有一個方法讓這兩百多個人把每一組可能的號碼都簽到才行。大家要試試看嗎? 然而，最有趣的是，據報導大約有二成左右 的人相信自已總有一天會中頭獎。的確，機會總是大於零！

        數字本身不會說話，我們如何闡釋出現在我們身邊的數字呢? 這就需要數學的知識。數學的觀念可以超越經驗，幫助我們看清楚事實的真相──無論這真相是什麼。

        然而，數學不是專管數字的工作，也不是科學家的專屬工具，它是一種思考的方法，數學可以幫助我們從紛亂中篩出真相，在科學領域之外的人常常認為數學沒有用。部份原因是，人們似乎對數學感到恐懼，也不知道如何將數學工具應用在發生在自 己週遭的事物上。

        數學似乎有一種令人驚訝的能力，可以告訴我們東西是如何運轉的，為什麼事物是按它們現在的形態存生，以及宇宙告訴我們些什麼．令人驚奇的是，這個本領來自一種似乎很抽象，客觀而無人情味的活動。

－－－－－－－數學與頭腦相遇的地方

        自然科學中，數學是最不自然的．這話怎麼說呢? 重力場的存在並不會因為物理學家之發現與否而改變：在牛頓發明力學三大定律之前，蘋果從樹上掉下的這件事已發生了上千年；鐵會生銹並不是化學家發現氧化現象之後才發生的事；黃金比例在自然界中出現也並非人們了解黃金比例後才存在的。物理學，化學，生物學等自然科學是在發現並了解我們生存的時空，"發現"是可以藉由觀察或實驗的方式來進行。然而"了解"則必須依賴數學模型的建立及數學的論證推演。

        常有人問道：「學數學有什麼用?」對於這個問題，下面摘錄《幹嘛學數學》一書中的資料給大家參考：

        很多人常常有個疑問：我們幹麼學數學? 對一個從事旅館業的人而言，微積分、代數或幾何學有什麼用處嗎? 也許有，也許沒有。但是能把問題很快地化成最簡單、最清楚的方式陳述出來，從而迅速解決的能力，不管從哪個方面看都是非常有用的。較高等的數學正提供了這種數學心智訓練，可以防止思緒模糊不清，或被一些假象誤導。

        而在金融業界，數學更是佔了很重要的地位。要在這個領域有所成就，首先要能掌握數字----最基本的算術，再來是要懂一些模型，接著是熟悉計算複利的基本數學，像是排列組合之類的，還有一點代數。這些學起來並不會很難，困難的是怎樣在每天的例行工作中應用這些數學。

        那麼在其他各行各業中又用到了哪些數學呢?《職業調查完全手冊》中列出了 12,000 種職業所需要的閱讀程度、語言能力及數學能力。其中數學能力共分 6 級，從 1 到 6，第 6 級是最高級。各級標準如下：

為方便起見，這些標準可以換算成一般的數學課程進度，給大家做個比較：

        一般說來，第 2 級代表日常使用的數學，第 3 級才開始有代數。對那些需要解簡單方程式的職業，第 3 級非常重要。高中數學程度大概可以達到第 4 或第 5 級。第 5 級大約等於主修生物、醫科或經濟的大學生的數學程度，而第 6 級則相當於物理、工程或數學系學生的程度。

        而在《職業調查完全手冊》中，數學的要求幾乎貫穿所有的職業，以下就列舉幾個例子，提供給大家看看各職場中需要什麼等級的數學。

各位以為如何呢?

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