| 什麼是微積分？ | ||
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微積分的起源可追溯至17世紀，當時牛頓和萊布尼茲獨立地解決了以 |
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下兩個重要的問題： |
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切線問題：給定一個函數
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是要求一條和
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面積問題：給定一個定義在
上的非負函數
，這個問題是要計算 |
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在由函數圖形
，x軸，
以及
所圍出區域的面積。 |
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| 這兩個問題的解答可以利用下述的方式逼近：對於切線問題，在函數圖 | ||
形
上選擇異於P點而非常接近P點的另一點Q，然後計算通過P點和 |
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| Q點的直線方程式(這很簡單)，這條線就會非常接近我們想要的切線；對於 | ||
| 面積問題，可以在考慮的區域內接有限個長方形，當長方形的個數夠多時， | ||
| 這些長方形的面積和(這計算也不太困難)將會非常接近我們想要計算的面積。 | ||
| 現在，我們明確地知道要如何得到這兩個問題的解答：對於切線問題， | ||
| 讓Q愈來愈接近P；對於面積問題，讓內接的長方形個數愈來愈多，直到能 | ||
| 填滿這個區域。 | ||
| 這就是牛頓和萊布尼茲的成就，他們對於上述的問題給出精確的數學意 | ||
| 義，進而解決了問題。他們的答案在數學的發展上有著巨大的衝擊。切線問 | ||
| 題的解答導致了微分理論的發展；而面積問題導致了積分理論的發展。這兩 | ||
| 個理論，和它們的延伸及應用被統稱為微積分。 | ||
| 更廣泛地說，微積分的發展可以被視為近代數學的發展起源。 | ||
| 如何學好微積分？ | ||
| 學數學絕不容易！歐幾里德的名言－「幾何學裡沒有王者之路」（There | ||
| is no other Royal path which leads to geometry），意即學習幾何學沒有捷徑，當然 | ||
| 有關數學的所有領域，也必是如此。然而，倘若你能對學習數學，抱持著高 | ||
| 度的興趣和熱情的心，相信很多困難將迎刃而解。以下提供一些關於如何學 | ||
| 習微積分的具體建議。 | ||
| 試著自己解題。學數學唯一的好方法是由「做」中學。由於解題時，你 | ||
| 必須把學過的理論再重新思考過一次，這個過程會讓你學到如何從不同的角 | ||
| 度來看這些理論，也會幫助你發現先前所忽略的東西。所以，盡可能多試著 | ||
| 先由自己來解題。 | ||
| 解複雜習題時和其他同學一起努力。在十七、十八世紀時的數學家，他 | ||
| 們的研究多半是單打獨鬥的成果；反觀今日，有蠻大比例的研究是靠團隊合作 | ||
| 而產生的結果，團隊合作的好處是讓思考能夠更加周全。當你遇到複雜的習題 | ||
| 無法自己算出答案時，建議你可和其他同學一起討論，一群人的腦力激盪可能 | ||
| 會促使你想出自己一個人孤軍奮鬥時所沒有辦法想到的點子。 | ||
| 和其他同學或老師一起討論課程內容。每個人都有自己習慣的看事情方 | ||
| 式，往往一不小心就會落入盲點而不自知。所以，即便你認為你已經了解課 | ||
| 程內容，建議你還是應該多和其他同學或是老師共同討論；這樣一來，你才 | ||
| 能察覺你忽略的小細節，或者一些你根本沒有考慮到的層面。 | ||
| 課堂上要勇於發問。上課時，如果你有任何疑問，應該立即發問。因為 | ||
| 你的問題，有可能正好就是其他同學不敢問的問題；也有可能是在坐所有的 | ||
| 人(包括老師)都還沒考慮到的問題。課堂上發問，不僅能對自己也是對全班 | ||
| 同學的莫大幫助。一個活潑生動的學習環境，不單是只靠老師來營造，也需 | ||
| 要同學們的參與，老師們都很希望也很重視同學們在課堂上能夠有更主動的 | ||
| 表現。相信這樣互動的學習過程，一定能讓你在學習微積分上有更多的收獲。 |
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| 為什麼要學微積分？ | ||
| 或許你對微積分不是那麼有興趣，或許你來這裡，是想學一些跟微積分 | ||
| 無直接相關的知識，關於學習微積分，你的心中一定有很多疑惑。但是，問 | ||
| 「為什麼要學微積分？」，其實就好像問「為什麼要學數學？」是一樣的意 | ||
| 思。怎麼說呢？因為微積分是現代數學的發展起點，主修科學相關領域的學 | ||
| 生就必須打好這個數學基礎，我用下面兩個主要的理由來說明。 | ||
| 數學是科學的語言！想想看，如果你到了一個陌生的國家卻不會說當地 | ||
| 的語言。當然，你可以完全不學或只學你需要用到的幾個字就能舒服地在那 | ||
| 裡生活好幾年。可是，這樣會限制你的生活，限制你對所處環境的了解，當 | ||
| 然也會限制你的自我發展。在你不用心去學習當地語言前，你將永遠無法一 | ||
| 窺這個環境的全貌，許多應該屬於你的機會可能在你渾然不知的狀況下悄悄 | ||
| 溜走。科學的學習狀況和這個例子很類似，或許你可以只學習一小部分的數 | ||
| 學，就能滿足獲得某個領域知識的需求；但是沒有好好學數學，你所獲得部 | ||
| 分還是有所侷限的，因為你將無法了解更廣更深的部份。書到用時方恨少， | ||
| 數學亦然！ | ||
| 數學訓練邏輯思考！這點十分重要。邏輯思考的能力不管它是不是與生 | ||
| 俱有的，但很確定的一點是，它是可以被訓練的，方法之一就是透過學習數 | ||
| 學。數學解題會教你如何接近問題、學到如何抽絲剝繭地看出問題的關鍵、 | ||
| 問出適切的問題、從不同的角度來思考問題等等。邏輯思考的能力比數學有 | ||
| 用太多，例如它對學新的語言、組織與計畫等也很有幫助。 | ||
| 總而言之，每位學生都應該而且可以為微積分找到學習動機。你不必認 | ||
| 同「微積分是人類最偉大的成就之一，這個理論之美讓人目眩神迷」。但至 | ||
| 少把微積分看作是掌握學科的重要工具，而且是教你學習如何有系統地進攻 | ||
| 與解決問題的重要理論。 | ||
| 本文譯自符克麥老師網頁的文章，原文請見 | ||
| http://jupiter.math.nctu.edu.tw/~mfuchs/2005_Fall_Calculus%20A(I)/index.html | ||
