接下來我們考慮三色地圖的著色問題。對於這個問題我們並沒有很完整的結果。1941年，布魯克林（R. L. Brooks）證明了：
「如果圖中有至少5個國家，而且每一國都有三個鄰國，
則這張地圖可以用三色或更少的顏色來著色。」
在此我們不證明這個定理，但是你可以試試下面這張地圖（記得外面也要著色）：
除此之外，坎普（A. B. Kempe）於1880年發現了另一個三色地圖問題的結果：「如果每個區域（包括最外面的區域）都有偶數條邊，而且每個點的秩都是3，亦即每三個區域交會於一點，則此地圖正好可用三種顏色來著色。」
下圖中，每個區域（包括最外面的區域）都有偶數條邊，而且每個點的秩都是3，你是否能找到一個方法只用三種顏色來著色？
若我們從這張地圖的一個中央區域開始著色，則因為它有偶數條邊，表示它的周圍有偶數個區域，所以這些區域可以交替用剩下的兩色著色。如下圖：
局部可以用三色著色並不能保證整張地圖都可以用三色著色，但是在這裡我們的確有一種方法可以順利用三種顏色將整張地圖塗滿。
首先，我們分別用順時針方向與逆時針方向的小圓圈將圖中所有的點圈起來。之前我們談過
「如果每個區域（包括最外面的那一區）都有偶數條邊，
則圖中的點可以被塗成紅色或藍色，而且相鄰的兩點有不同的顏色。」
因此我們知道這張圖中的點可以用被塗成紅色或藍色，使得每條邊所連接的兩個點有不同的顏色。所以，我們可以將紅色的點畫上順時針小圓圈，藍色的點畫上逆時針小圓圈。如下圖：
接著，以順時針小圓圈的點為例，我們就以順時針方向將它所連接的三條邊分別塗上黃、紫、藍三種顏色。
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我們也可以用類似的方法替逆時針小圓圈周圍的三條邊著色。
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於是依照這樣的規則，在圖中任選一點開始，一一將邊線著上顏色。如下圖：
