若G為一連通之平面圖,則
V + F = E + 2
其中V代表G中點的個數,F代表G中面的個數,而E是G的邊數。
證明:
我們可以用數學歸納法證明尤拉公式,在這裡要用兩層的數學歸納法:
當F = 1時,
V = 1時成立。
V = 1, F = 1
E = 0
V + F = 1 + 1 = 0 + 2 = E + 2
假設V = k – 1 時,尤拉公式成立,即
(k – 1) + F = E + 2
對於一個包含k點及1個面的平面圖,即為一個有k點的樹,圖中沒有任何迴圈(否則有不只1個面)。因此,我們可以在這個圖上找到一個秩為1的點(樹的末端)使得拿掉這個點及與它相連的邊之後還是一個連通圖。
例如:
拿掉下圖中紅色的點及與它相連的邊,
仍然會是一個連通圖,如下面4種情況:
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而拿掉一個秩為1的點後,就變成一個k – 1點的圖,由假設知
V + F = E + 2
當我們再把這個點放回去時,點數與邊數都會加1,所以
V' = V + 1, E' = E + 1
則
V' + F = E'+ 2
(因為V + F = E + 2,當然 (V + 1) + F = (E + 1) + 2。)
由 1, 2 及數學歸納法得證,F = 1時尤拉公式成立。
對任意自然數,假設
F = m – 1時尤拉公式成立。
對於一個有m(
)個面的平面圖,圖中至少存在一個迴圈。我們可以在這迴圈中找一個位於兩個面交界的邊,使得拿掉這條邊後的面數少1,而圖形仍然連通。
例如:
拿掉下圖中的紅色邊,這個原本有3面的圖
就會剩下2面,如下面4種情況:
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拿掉這條邊後,就變成一個m – 1面,由假設知
V + F = E + 2
當我們再把這個條邊放回去時,邊數與面數都會加1,所以
E' = E + 1, F' = F + 1
則
V + F' = E' + 2
(因為V + F = E + 2,當然 V + (F + 1) = (E + 1) + 2。)
由 A, B 及數學歸納法得證V + F = E + 2。