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畢氏三元數之通式解

        若 a, b, c 為一組畢氏三元數，則 ma, mb, mc 亦為一組畢氏三元數。

        若要討論一般解，可考慮a, b互質（即a, b沒有公因數）之情形。若a, b互質，則a, c及b, c也必互質。因此，我們可以只考慮a, b, c兩兩互質的情形。

        若x, y, z為一組互相互質的畢氏三元數，x² + y² = z²

1. 因為奇數與奇數相加或相減均為偶數，故x, y, z中必有一為偶數。

2. x, y中必有一為偶數

若x, y為奇數，z為偶數，令x = 2k + 1, y = 2m + 1, z = 2n.
(2k +1)² + (2m + 1)² = 4n²
4k² + 4k + 1 + 4m² + 4m + 1 = 4n²
4(n² – k² – k –m² - m) = 2
表示2可以被4整除，矛盾。

3. 則

因為y, z均為奇數，故
 及  均為整數。

且因y, z互質，故u, v互質。

  為完全平方
 u 為完全平方，且 v 為完全平方

令 u = m², v = n²，得
x = 2mn
y = v – u = n² – m²
z = v + u = n² + m²