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√2為無理數

<證明>

假設是有理數
則存在兩個互質的正整數m, n，使得 =

 ()² = 2
 = 2
 m² = 2n²
 m是偶數  （若m是奇數，平方後一定是奇數）

令 m = 2k 代回上式
得到 4k² = 2n²
 n² = 2k²
 n 是偶數

m, n有公因數2，與假設不符（m, n 互質）
所以假設錯誤，是無理數。