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無理數

          是什麼？

        應用畢氏定理，畢氏學派發現一個兩股都是1的直角三角形，它的斜邊長是一個很奇怪的數字，此數的平方等於2。現在我們將之稱為2的平方根，記為；也就是說

()² = 1² + 1² = 2 

        有時候我們會將看成1.414來作計算，但1.414並不是的平方根，因為1.414的平方是1.999396。事實上，因為1.414的最後一位數字是4，所以平方後的最後一位數字一定是6，因此1.414的平方不可能是2。我們可以用同樣的理由推斷：任何一個有限位數的小數，平方後都不會是2。而且，經由證明我們知道也不是可以表示成兩個整數比值的分數——我們稱這樣的數為「無理數」。

        在「零的故事」那一單元中我們談到，希臘的數學家拒絕零。除了否定「零」的存在之外，畢氏學派也試圖要除去另一個惹是生非的數學概念——無理數。在他們的理想中，宇宙萬物皆由比例主宰，任何有意義的東西都擁有完美的比例，照字面說，就是能被「有理化」，也就是要能寫成ａ／ｂ的形式，其中ａ與ｂ必須是整數（零當然不包括在內）。

        很不幸地，若你在一個正方形中畫一條對角線，無理數就出現了。假設這個正方形的邊長為一公尺長，那麼拿一根10公分長的直尺，便能將正方形的邊長劃分成10小段，但對於對角線來說，卻是14段又多一點；用更小的尺來試試，0.1公分長的尺可以把邊長截成1000小段，對角線卻是1414小段又多一些。就算你很有耐心又很有毅力地用一根非常非常短的尺來量測，還是會得到一樣的結果。這樣的尺根本就不存在，也就是說，邊長與對角線沒有公因數，它們無法以比例的形式表示。事實上，這條對角線的長度正是我們熟悉的無理數——。 

　

        現藏於美國耶魯大學（Yale University）編號YBC 7289巴比倫泥版（見上圖），上面畫了一個正方形和它的兩條對角線，正方形邊上刻上以楔形文字記載的數字 30，對角線上也刻上兩個數字，其一是（巴比倫人用六十進位制而非十進位制）。另一是。 不難猜到前者是，後者是，即是對角線的長度。

　

        對畢氏學派而言，無理數是非常危險的，它會摧毀他們的理論基礎——宇宙萬物皆由比例主宰。即使如此，無理數仍然一再地出現在各式各樣的圖形中：正方形的對角線、自然界中處處可見的黃金比例……等！他們根本不敢接受這個事實，每個兄弟會的成員都閉口不談無理數，甚至不許任何人寫下來。欲洩露這個秘密的人就是叛徒，得受兄弟會制裁，傳說中，依帕索(Hippasus)就是一個這樣的犧牲者，連最終命運是被拋入海中還是被放逐都沒有人正確地記載下來，這就是所謂的「邏輯醜聞」(the logical scandal) 事件。