Lagrange Multiplier	目錄	上一頁
最佳化（Optimization）理論是非常重要的應用研究，例如：將公司營運管理的「效益評估」予以建模（modeling）成一多變數函數，尋找其最小/最大值（Absolute min/maximum）就可以對應到最低成本/最高獲利的決策。但受限於應用案例中一些外加的要求，此類問題的求解都會遇到實做上的障礙；單靠微分找出的「導數＝0」的座標點，常常是不符限制條件的無效解！而真正可行（feasible）的最佳解其導數不見得是 0（那要如何找到呢）！對此棘手狀況，Lagrange Multiplier Method 提供了一套求解方案。首先要界定這類問題的標準型式： OPTIMIZATION MODEL Maximize（or Minimize）the Object Function , subject to the Constraint 先將限制條件模化成等位面 的形式（注意必須是 closed & bounded set），意即只針對此曲面上的座標點求函數 f 的最大最小值。 LAGRANGE MULTIPLIER METHOD 1. 解聯立方程式： ，其中 , x , y , z 是欲求解之變數。 2. 將步驟1解出之所有座標點代入 f 比較其函數值，就可找出符合限制條件的最大最小值（步驟 1 的解集合已保證涵蓋所有最大最小值的座標點）。 說明如下： 定義 代表所有符合限制條件的點集合 ( S 是一 level set)。設 是本問題的一組最大值解，即 。令 為任一條通過該極值點且全部位在 S 上的路徑， 且 i.e. 。因為 ，意謂合成函數 在 發生極值；該處其微分必是 0。故： 上式的意思是在等位面 S 上 處，向量 將垂直於曲面的任一切向量 ！注意到等位面 S 上原本就有 Gradient 會垂直的特性，因此可知 與 此二向量必相互平行（只在發生極值的位置），意即 ！下面的電腦模擬可以清楚看見 、 的消長變化，觀察到二者平行了嗎？ Lagrange Multiplier 下拉選單選取一個目標函數 下拉選單選取一個限制函數（綠線） 在「Z」面板有「手動指定／單步／自動 PLAY」可改變截面的 Z 軸高度，注意到這就是我們欲求極大極小的目標函數的函數值，截面的上昇下降代表函數值的增加減少 隨著截面的變動，觀察對應的紅色等位線（代表不同的目標函數值）與綠線（限制函數）相交的狀況，在交點處二者的 Gradient 何時平行
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