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現在我們已經知道函數 f 在點  處，方向  的方向導數：
 , where 
根據多變數 Chain
Rule：
進一步寫成向量形式得到：
DEFINITION：多變數純量函數的 Gradient（梯度函數）
The Gradient
of  is the vector 
Gradient的一些重要意義：
以隱函數  （C是純量常數）所定義的函數曲面（即 level surface 等位面，例如  ），其上的  將處處垂直於此曲面；這是因為對曲面上的任一曲線路徑  ，我們都有  ，兩邊微分變成  ，其中  是曲線的（所以當然也是曲面的）切線向量，這意味 將與切平面上所有的切向量
皆垂直，即 就是該切平面的法向量（Normal vector）！因此我們得到：
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OBSERVATION：通過等位面上某一點
 的切平面方程式是：
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物理學中重力場的等位線（如衛星軌道）、電力場的等位面（如金屬導體表面）其Gradient就是重力、電磁力的方向（守恆力會垂直等位面）！下面的範例在最佳化理論（Optimization）中佔有一席之地（greedy algorithm的一種），所謂的「最陡峭路徑」（steepest
ascent/descent path），可以幫我們尋找某一起始點鄰近的極值位置：
- 在下拉選單選取一個曲面。
- 在右視窗觀察等高線與 Gradient 向量彼此互相垂直，又 Gradient 均指向函數值變大的方向。
- 在平面定義域（右視窗）中任意處以滑鼠左鍵點擊，就會自動顯示出該處的最陡路徑
- 可調整透明度以得到最佳的空間透視
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