任意一張分區地圖，最少需要多少種顏色來塗，使得相鄰的區域都塗上不同顏色？
由下圖我們很清楚地知道至少需要4種顏色：
任意一張分區地圖，只用4種顏色來著色夠嗎？
一百多年前，就有人針對這個問題提出了一個臆測：「任意一張分區地圖，都只需要4種顏色來著色。」是誰首先提出四色問題的？沒人知道。但最先有記錄可尋的是1852年，英國數學家摩根（A. de Morgan）給愛爾蘭數學家漢彌頓（W. Hamilton）的一封信。信中他提到有個學生（F. Guthrie）跟他提起地圖著色的問題；學生說四色就夠了，但摩根找不到任何的證明。四色問題在當時並沒有立即引起大家的注意。一直到26年後，英國數學家凱利（A. Cayley）發現事情並不如大家所想的那麼簡單，四色問題才引起了熱烈的討論。次年，康沛（A. Kempe）宣佈他證明了四色定理。但是11年後，希悟（P. Heawood）卻發現了康沛證明中的一個漏洞，四色定理又變回了四色問題。數學家們繼續努力了將近一個世紀，在1976年，美國伊利諾大學的兩位數學教授阿倍爾（K. Appel）及哈根（W. Haken）才利用電腦的輔助將這個問題解決。
雖然當時康沛所發表的四色定理證明有一些瑕疵，但是卻使希悟利用它證明了五色定理：
「任何平面地圖都能以五種顏色來著色」
這個五色定理也可以轉換成另一種型式的五色定理。
我們以點代表原地圖的區域，兩點間有邊相連代表原圖中兩區域相鄰，得到一個新的圖，則五色定理就變成了：
「對於任何平面圖上的點而言，我們都能用五種顏色來著色，
使得相鄰的兩點不同色。」