向量函數

認識「極限」與「連續」

回想一下，單變數函數定義在一條直線上，其極限與連續的問題僅需考量左、右兩方向逼近的極限值是否吻合；但多變數函數的定義域 , 至少是二維以上的空間，可任由四面八方不記其數的方向逼近，但各自的極限值最後都要一致？！如此複雜多樣，到底所謂「連續」的意義是怎麼一回事？而不連續函數（奇異面）又長啥樣子？我們先以前面介紹過的變數約化技巧來檢視一些範例：

EXAMPLE : 探討函數在原點的連續性質 I

在定義域中是沿著 x 軸通過原點的路徑、是沿著 y 軸通過原點的路徑、是通過原點並與 x 軸夾角的路徑。

在進入正規的方程式分析之前，下面的 JAVA 習作可以先讓你親眼觀察所有即將於此討論的函數曲面的形樣，這將大大幫助各位瞭解數學操作背後的意義。

奇異曲面的切截線

以下拉選單選取一個奇異曲面。
再按扭選擇 x-y、y-z、x-z 任一種切截面
藉由 Shift＋、Shift－移動相交的位置
觀察切截曲線在奇異點附近的變化。
可調整透明度以得到最佳的空間透視

1. 考慮在路徑的約化函數，這個單變數函數在原點是不連續的，也沒有極限值，故在原點同樣是不連續的、沒有極限值。幾何上來看，是一條落在曲面上的空間曲線，在不連續。曲面上的曲線都不連續了，當然曲面本身亦有問題，可知 f 在是不連續的。

2. g 在路徑的約化函數是常數，在原點當然是連續的。然而約化函數的性質僅只能反映原函數的部分性質！我們看看另一約化函數，雖然它也是連續的，但注意兩個約化函數（代表不同逼近方向）的極限值不一致：

幾何上來看，兩條通過原點的路徑所對應的空間曲線：

在曲面上應該交會於，事實卻非如此！在原點處不同的方向竟有落差，是不連續的。

3. 同理，雖然、；

沿著 x 軸或 y 軸逼近的結果是一致了，但是（沿著45度角逼近原點的空間曲線），我們發現：

再一次，在 (0,0) 是不連續的。

由以上範例的代數推導，你是否得到一點心得？

OBSERVATION：四面八方中只要有一個方向的逼近值不一致，函數在該處就不是連續的！

such that

then f is not continuous at .

DID I GET THIS：探討函數的連續性質 I

　