向量函數

偏導數的意義

多變數函數微分的概念更不容易完整明確的交代，對初學者而言，「函數在某一點可微分」到底是何意義？如何判別可不可微分？這些疑問很難由抽象的定義得到啟示。因此比較實際的作法是先由偏微分的觀念入手，畢竟其與單變數函數的微分非常類似，較易被理解。但讀者必須切記：前者的內涵遠較後者複雜，絕不能全部以「類比」視之！

DEFINITION ：多變數函數的偏微分

稱為向量函數對第 i 個變數的偏導數。

在以下的課程裡，為簡化數學概念的描述與方程式推演的複雜度，我們將以 m=2（雙變數）、n=1（純量）函數為主要說明對象（變數是 3 個以上的可以此類推），並使用一些較簡便的表示法：

稱為對x 或 y 的偏微分。注意到上述任一偏微分公式取極限時， h → 0 只影響到其中一個變數，其它皆保持恆常不變！意即對一多變數函數作偏微分時，事實上還是把它當作單變數函數來微分（其它變數看成是固定的常數值），所有計算技巧並無不同！寫得更清楚一點，令，可得：

因此 n 個變數的函數其偏導數就有 n 個！注意，它就是的一個「路徑約化函數」（我們在前兩節課程中經常運用）。

NOTE：函數在點處的 x 偏微分其實就是它在路徑上的約化函數的微分！

想像在 3 度空間中平面上有一 x-z 座標系統，便在其上，它的函數曲線正是此平面與曲面的交集（參看下圖）；而在處的切線也同時是曲面在該處的諸多切線之一，此切線的斜率，即為。

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