向量函數

微分的意義

在前一節與本節的兩個JAVA範例實作中，各位是否能觀察到：在曲面上點處，某一θ角度的截面會跟曲面交截（交集）出一條曲線（i.e. 在該處、θ方向的路徑約化函數），並有對應的切線（i.e. 方向微分）。想像θ由 0 到 π連續改變，每個角度都有各自對應的方向切線；全部的切線於是組成了曲面在該處的「切平面」！本節課程演繹至此，是否能給各位一個「以偏微分蓋（construct）全微分」的直覺？

DEFINITION ：可微分的定義

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, as , , where , .

OBSERVATION：注意上式中的線性部分就是曲面在的切平面！其意所指：曲面與切面的差距甚小。所以曲面在該處「可微分」意即「有切平面」意即「函數可在附近做線性逼近」。

　

DID I GET THIS：探討偏微分與可微分之間的迷思

LEARN MORE：可微分的驗證 I

　

切線（方向偏微分）與切面（微分）

在下拉選單選取一個曲面。
可手動設定切點位置的X、Y值。
亦可由X++/--、Y++/-- 移動切點位置。
可手動設定截平面的θ角度，轉動更改偏微（切線）的方向。
亦可利用「變動θ」面板的「單步／自動PLAY」，更清楚觀察到所有的方向切線。
可調整透明度以顯示／隱藏切平面、截平面與函數曲面以方便觀察。

注意：在 (0,0) 處由電腦繪出的藍色平面，是為了配合習題演練以分辨切平面真偽，勿被誤導！

上面的課程內容不僅具像化了函數的微分（Differential）概念，也清楚地交代了切面（Tangent Plane）、方向切線/微分（Directional Differential）與切截線（Cross Curve）、路徑（Path）等概念的幾何關聯，十分重要，讀者應仔細體會。