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下面是一個連通圖，圖中每個點的秩都是偶數，我們是否可以在圖中找到尤拉迴圈呢？
首先，我們自a點開始，任意畫一條封閉路徑，如
a-d-j-n-o-k-l-h-f-e-b-a。
由於每個點的秩都是偶數，也就是每個點都有偶數條邊與之相連，這使得當我們自a點出發，沿著路徑走至圖中的任何其他點，都不會是死路，在該點上一定還有其他邊讓你可以走出來，到下一點去，直到回到a點，而得到一個迴圈。若圖中有奇數秩的點，就不保證這件事情辦得到；因為一個奇數秩的點最終總會變成一個秩為1的點，於是當你走進這個點，就再也沒有路可以出來。
接下來，我們將紅色的迴圈拿掉不看，得到一個不連通的圖，但是圖中每個點的秩仍然是偶數。
這個圖可以分開看成兩個小連通圖，我們發現這兩個小圖都各有一個迴圈：
d-c-i-j-k-e-d與h-g-m-h。
將這兩個迴圈插入之前的迴圈：自a點開始，沿著紅色迴圈走，走至d點的時候，出來走綠色的迴圈，回到d點，繼續沿著紅色的迴圈走；走至h點時，再出來繞藍色迴圈，回到h點，繼續走完紅色迴圈回到a點。就得到這個尤拉迴圈
a-d-c-i-j-k-e-d-j-n-o-k-l-h-g-m-h-f-e-b-a
對於尤拉迴圈的存在性問題，十八世紀的數學家尤拉給了下面的解答：
「若一個連通圖中所有點的秩都是偶數，
則該圖中存在有尤拉迴圈；
反之亦然，若某圖中存在尤拉迴圈，
則該圖一定是一個由偶數秩的點所構成的連通圖。」假設圖G是一個連通圖，而且圖中每個點的秩都是偶數。那麼如同上面的例子，任意選一點a，由於圖中所有點的秩都是偶數，我們知道一定可以找到一個路徑，最終會回到a（途中也可能會經過a幾次）。將這個迴圈C自G中去掉，得到圖G’。就和之前的例子一樣，G’可能不再是連通圖，但是G’中的點的秩仍然是偶數。
我們知道C與G’一定會共用某幾個點，因為G可以分成C與G’兩部分，若C與G’之間不共點，則表示在G中C部分的點與G’部分的點間不存在有路徑相連，這與G是連通圖矛盾。那麼自C與G’共用的幾個點中任意選一點a’，然後自a’點出發，在G’中找一個迴圈C*。接著，在迴圈C的a’點插入迴圈C*，便得到一個大迴圈C’。
重覆同樣的動作，將C’自G中去掉，在剩下的圖中找一個迴圈C’’，再插入至C’中，得到更大的迴圈。以此類推，直到得到一個尤拉迴圈為止。
