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進位制

        早期的人類似乎只會區分「一」與「多數」;隨著語言的發展,人類開始能分辨一、二及多數。現代某些語言仍然缺乏稱呼較大數目的名詞。玻利維亞的西利歐那印第安人(Siriona Indians)及巴西的雅拿瑪族(Yanoama)的語言中沒有任何數目字是大於三的;這兩個部落的人使用「許多」及「大量」描述大於三的數目,正所謂「三人成眾」是也!

  由於數字的可加性,數字的系統沒有停留在三。過了一段時間,聰明的人們開始將一些數字串在一起,產生新的數字。巴西的巴凱瑞族(Bacairi)及博洛洛族(Bororo)目前所使用的語言就顯示出這個過程:他們的數字系統由「一」、「二」、「二加一」、「二加二」、「二加二加一」……以此類推。這些民族以二為單位計數,數學上稱這個系統為「二進位」系統,其中「二」則稱為進位系統的「基數」。在計算機科學中使用最基本的進位制就是二進位制(除了二進位制之外,四進位、八進位及十六進位也都是計算機科學中常使用之進位方法)。

  卡格的狼骨上刻了五十五個小記號,每五個為一組排列;在第廿五個小記號之後另外有一個記號。由此看來,卡格似乎是以五為一組來計數,然後再計算組的數目。現代的數學家稱這樣的計數法是「五進位」計數系統。

  為什麼選擇五呢?如果我們進一步尋求解釋,你會發現這是一個主觀的決定。如果卡格決定以四個為一組計數,他的數字系統照樣能運行;同樣的,他也可以使用十或六十來計數。分組的方法不會影響骨頭上的刻痕總數,只會影響結算的方法。也就是說,不管他使用什麼「基數」作運算,最後得到的結果都是一樣的。古巴比倫人就是用六十進位制,希臘人、歐洲人將這系統運用於數學計算和天文學計算中,直到現在六十進位制仍被用於角度、時間等記錄上。然而,卡格就是比較喜歡以五為基數計數。也許這是因為人的每隻手有五根指頭。

  即使在南美洲的二進位系統中,語言學家也看到五進位系統的萌芽。博洛洛人使用「一隻手的指頭總數」代替「二加二加一」。明顯地,古代的人喜歡使用身體的部位計數,例如:五(一隻手)、十(雙手)及二十(雙手雙腳)是他們最喜歡使用的基數。在英文,中十一(eleven)及十二(twelve)似乎是由「比十多一」(one over“ten”)、「比十多二」(two over “ten”)衍生出來的,而十三、十四、十五……等等則是「三加十」、「四加十」、「五加十」的縮寫。由此,語言學家下了一個結論:日耳曼語系的語言(包括英語)是以十為基本單位,因此,這些民族應該是使用十進位系統。另一方面,在法語中八十是quatre-vingt(四個廿),九十是quatre-vingt-dix(四個廿加十);這可能代表從前住在法國這個地方的原始部落高廬人是使用廿進位系統來計數。

     然而,這些系統中沒有稱為「零」的數字,零的觀念根本不存在。你永遠不需要記錄零隻羊,商人不會說:「我有零根香蕉。」他會告訴你:「我沒有香蕉。」你不需要一個數字來表達缺乏某件東西。沒有人需要使用某個符號來代表不存在。這就是為什麼人類可以長久安於沒有零的生活。人們根本不需要它,所以零一直沒有出現。

 

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