巴比倫古國位於貿易航線上，商業活動頻繁。巴比倫人利用他們的算術知識，得以有效地處理金錢兌換、商品交換、計算利潤、稅額、分配收成、劃分田地及遺產等問題並發展出了基本的代數學。由於整數和分數寫法的進展，巴比倫人發展了優越的算術以及代數。——這也要歸功於「零」符號的出現（雖然「零」只是個位置符號）。巴比倫人用特殊的術語和符號代表未知數，使用運算符號，他們解出了幾種形式的一元及多元方程式。他們將算術廣泛地應用到實際問題，其是天文及水利方面。在乾燥炎熱的氣候中，經由他們的運河、水壩和其他灌溉計畫，底格里斯河及幼發拉底河，讓旱地變成了沃土，也讓巴比倫成為繁榮富庶、人口眾多的城市。想想看！這需要多麼大量的計算功夫。
由於沒有零，埃及人從未曾發展方便的運算數字的方法，尤其是分數。埃及人的算術基礎是建立在「倍乘」的觀念上，埃及人的乘和除，基本上是利用加法運算，例如
埃及人需要用到下列的〝乘法表〞：
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1 |
12 |
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2 |
24 |
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4 |
48 |
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8 |
96 |
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這和我們現在慣用的方式
不同。不過，顯然古埃及人已經熟知整數的乘法及加法的基本性質——加法及乘法的交換律、結合律以及乘法對加法的分配律。
埃及人的整數除法也是相當有趣的，例如：
：
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1 |
8 |
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2 |
16 |
ˇ |
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1/2 |
4 |
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1/4 |
2 |
ˇ |
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1/8 |
1 |
ˇ |
結果為 2 + 1/4 + 1/8 |
埃及人在幾何方面十分有成就。其中有一種說法認為幾何是「尼羅河的禮物」，尼羅河水每年一次的定期泛濫，淹沒河流兩岸的谷地。大水過後，法老要重新分配土地，長期積累起來的土地測量知識逐漸發展為幾何學──geometry （幾何）的 geo 表示土地，metron 表示測量。
古埃及與巴比倫的數學都是建立於經驗累積之上。直線指的就是拉緊了的繩索或田地的邊界（古埃及的測量工具為繩索，因而稱測量員為拉繩人）；希臘語的 hypotenuse（斜邊）實際上是「拉緊在……之下」的意思──拉緊在直角三角形的兩股之下。平面只不過是一片平坦土地的表面，長方形就是田地的周界，長方形的面積即是土地的面積，兩數相乘即是長方形的面積。
古埃及人與巴比倫人把他們的數學用到許多實際的問題上。在留下的草紙及瓦片上，我們可以看到期票、信用狀、抵押、延期付款以及商業盈利的分配。但他們在了解或推展數學方面的貢獻都不怎麼樣。他們累積一些簡單公式，還有無數的規則或技巧，但都只能回答特殊情形下所引起的問題。他們無從建立理論，以連結或闡明許多觀察結果之間的關係。
希臘人則不然。他們定居下來之後，便與埃及人及巴比倫人交往，學習埃及人及巴比倫人的數學知識，加以更進一步的探討及推廣。在研究的態度上古希臘人和埃及人、巴比倫人是截然不同的，他們在計算出結果之後，猶不滿足，必須用盡他們想得出的最好方法，嚴格的邏輯來加以証明。雖然如此，希臘人仍然沒有把零納入他們的數字系統，「零」在古希臘數學的架構中是沒有地位的。
事實上，希臘人繼承了埃及人的幾何學；在希臘數學中「圖形」與「數字」其實是同一回事。圖形與數字的共通性使得希臘人成為幾何大師。然而，它妨礙希臘人把零看成一個數字——畢竟，零在幾何上似乎沒有任何意義。對於希臘人而言，數被視為長度或是面積，兩個數字的乘積等於一個長方形的面積。想想看，一個長是零而且寬是零的長方形的面積是什麼？很難想像某個沒有長也沒有寬的形狀會是長方形……根本沒有東西存在。這也意味著零的乘積沒有意義，零表示一無所有。所以，希臘人選擇不把零納入數字系統。
對古代的人而言，零的性質是難以理解的，因為零與其他數字大不相同。任何數字加上一個數字，結果會變成另一個數字。一加一不等於一，它的答案是二。二加二的答案是四。但是，零加上零卻等於零；這違反了數學運算的基本原則——阿基米德公設 (axiom of Archimedes)，也就是任何數字一再相加，最後的總和會遠超過任何數字。（當然，阿基米德公設中的數字是表示面積。）零拒絕變大，也拒絕讓其他數字變大。二加上零還是等於二；什麼事也沒發生，就好像沒有進行這項運算。同樣的情形也出現在減法的運算裡。二減去零，還是得到二。這個詭異的數字對數學產生威脅，它不但破壞了數的加法及減法運算，也破壞了數的另外兩個基本運算——乘法及除法。
我們可以把乘、除法看成是長度的伸縮。考慮一條伸縮自如的繩子；實在一點，一條彈簧吧！乘以二的運算可以想像為將彈簧拉長兩倍；除以二的運算可以被想像為將彈簧收縮成原來的一半。可見，除法會將乘法還原；同樣地，乘法也會將除法還原。但是，當你乘上零時，會發生什麼事？彈簧不見了？！零乘上任何數字的答案一定是零，因為數字還必須擁有「分配律」。
我們知道0+0 = 0，所以任何數乘上0與這個數乘上 (0+0) 是一樣的。以2為例：
2×0 = 2×(0+0)
按照分配律
2×(0+0) = 2×0 + 2×0
所以2×0 = 2×0 + 2×0。
也就是說，不論2×0是什麼，它加上自己還是等於自己。這個性質就像零一樣。如果我們從等式的兩邊同時減去2×0，最後就得到0 = 2×0。因此，任何數乘以零的結果一定是零。但是，零最麻煩的地方不是在乘法運算，而是在進行除法運算的時候。
之前，我們得到2 × 0 = 0。因此，若要將這個乘法運算還原，我們應該得到 (2×0)÷ 0等於 2。同樣的，(3×0)÷0應該等於3；而 (4×0)÷0也應該等於4。然而，2×0、3×0、4×0都等於0，所以
2 = (2×0)
÷ 0 = 0÷0
3 = (3×0)
÷ 0 = 0÷0
4 = (4×0)
÷ 0 = 0÷0
天啊！這不就表示0÷0等於2，又同時等於3，也等於4嗎？這完全不合理！
當我們從另一個方向檢視1÷0 的時候，奇怪的事也發生了。“乘以零”應該會還原“除以零”的結果，所以，(1÷0)× 0應該等於1。然而，我們知道任何數乘以零的答案還是零！所以，沒有任何數目乘以零，可以得到1。某個數字除以零，這根本就超出希臘人的數字規則！因此，零是不被允許的。
希臘人拒絕零並非出於無知，也不完全是因為數字受幾何圖形的限制。亞里士多德主張，不可能存在無限多層層環繞的星球。由於採用這套哲學，西方沒有「無限」存在的餘地，然而「零」和「無限」卻又是攣生兄弟，亞里士多德拒絕「無限」就必須拒絕「零」。查爾斯．席夫在《零的故事》一書中提到：「零」與西方哲學的基本信念相衝突，因為「零」包含著兩個危險的概念一—空無和無限（ 「撒旦 (Satan)」的字面意義就是「無」 ）。
幸好！在印度情況完全不同，在印度的宗教中，空無佔有重要的地位。
在最早期的諸神時代，存在由不存在而生。——吠陀經
西元前四世紀，由於亞歷山大帝的波斯軍隊入侵印度，印度的數學家認識了巴比倫的數字系統及「零」。印度的數學家不僅接受「零」，他們還把「零」由位置記號轉變為數字。印度人顯然不像希臘人那樣深深著迷於平面圖形。印度的數字系統讓他們可以巧妙地進行加、減、乘、除的運算。他們採用十進位位值系統，所以他們可以使用與我們今日類似的方式進行大數目的加減運算。
數字終於脫離幾何學，數字的應用不再僅止於測量。印度人不像希臘人一樣把兩個數字的乘積視為長方形的面積；印度人看到數字之間的相互作用——脫去幾何標籤的數字，這就是「代數」的誕生。雖然這種思考方式使印度人對幾何學沒有太多的貢獻，但它有個出人意外的影響：它使印度人掙脫希臘的思想體系，以及希臘人對零的抗拒。
一旦數字擺脫它們的幾何標籤，就不需要再擔心數學運算是否符合幾何意義。雖然，我們不能從兩畝地中挪走三畝地，但是，我們仍然可以做
的運算。現在我們都知道二減三等於
。然而，這樣的運算在古代並不是那麼顯而易見，當時他們若解出方程式的答案為負數時，就認為無解。畢竟，如果以幾何的角度來看，負的面積是什麼意義？這在希臘人的眼中實在不合理。
對印度人而言，負數是很合理的。事實上，負數的首次出現就在印度（還有中國）。西元七世紀的印度數學家婆羅摩笈多 (Brahmagupta) 為負數的除法定下規則：「正數除以正數，或負數除以負數，答案是正數；正數除以負數，或負數除以正數，答案是負數。」這也是我們現代所使用的規則：當兩個性質符號相同的數字相除時，結果為正數。
就像2減3的結果是個數字，2減2也是個數字；它的答案是零。零不只是個位置符號；零自己就是個數字，它有特定的數值，在數線上擁有固定的位置。既然零等於2減2，那麼它一定要被放在2減1與2減3之間——也就是1與之間。再也沒有比這更合理的安排。零終於在數線上登場！
然而，即便是印度人，也覺得零是很怪異的數字。畢竟，零乘上任何數字都等於零；它吞噬了所有東西。而且，當你以零做除數的時候，天下大亂。婆羅摩笈多試著搞清楚0÷0與1÷0是多少，他寫道：「零除以零得到零，任何正數或負數除以零是一個以零為分母的分數。」換句話說，他認為0÷0 = 0，這是錯的！而且，對於1÷0他也說不出個所以然。婆羅摩笈多的錯誤並沒有持續很久，印度人便發覺1÷0的答案是無限。十二世紀的印度數學家婆什迦羅 (Bhaskara) 談到1÷0所得到的數值時，他說：「分母為零的分數是無法計量的。即使你再加上或減去很大的數目，結果還是沒有改變。就像無窮大與不朽的神，永遠不會發生任何改變。」
對於「零」的發明，許多歷史書上說，觀念的突破在於為「什麼都沒有」發明了一個符號。也許對於算術的實用性而言，這的確是一項突破，但是對於數學本身來說，更重要的是在於出現了一種新的數，一個代表「什麼都沒有」這個抽象概念的數。
