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豆芽遊戲 (Sprouts)

先玩？後玩？

        我們接著來看看遊戲開始時有2點的情況：

        先玩的人似乎有5種選擇，但是第2和第3種是一個對稱的情形，其實是一樣的；同樣的，第4和第5種的情況也可以看成同一種。接著，因為我們知道圈內和圈外的世界其實也是一樣的，所以這4種情形其實說的都是同一件事，都是指畫一條線將一個點連回該點。

1	2	3	4	5

        接下來以類似的方法可以得到一個結論：不論是正常的玩法（畫到最後一條線的人贏）或是相反的玩法（畫到最後一條線的人輸），後玩的人都佔了優勢，總有辦法能贏。如下圖，2點的遊戲一定會在第4步（2×2=4）或第5步（3×2-1=5） 結束，由於先玩者走第奇數步，後玩者走第偶數步，所以後玩者若能讓遊戲在第4步結束，則可畫到最後一條線，即藍色的走法；反過來，後玩者若設法讓遊戲在第5步結束，就可以避免畫到最後一條線，即綠色的走法。

        遊戲開始時有2個點，假設遊戲玩了p次後結束，結束時的圖為G₀，而G是由G₀如上述方法得出所有點的秩皆為3的圖，則G會有2 + p個點，3(2 + p) – r條邊，其中r是指G₀中秩為2的點數。既然一個圖中秩的總和為邊數的兩倍，則

2(2p) = 3(2 + p) – r

也就是

4p = 6 + 3p – r

於是得到

p = 6 – r

那麼，若後玩者想畫到最後一條線，就希望p = 4，所以r必須為2，意思是說後玩者得設法讓圖中出現2個秩為2的點，如下圖中的紅點：

        相反的情形，若後玩者想避免畫到最後一條線，就希望p = 5，所以r必須為1，也就是讓圖中只出現一個秩為2的點，如下圖：

　

        在玩3點的遊戲時，也可以用類似的想法來決定該如何畫線才會贏。由上述方法所得到的G會有3 + p個點，3(3 + p) – r條邊。則

2(3p) = 3(3 + p) – r

也就是

6p = 9 + 3p – r

於是得到

3p = 9 – r

        那麼，若r為奇數，則p為偶數，後玩者可畫到最後一條線；相反地，若r為偶數，則p為奇數，先玩者可畫到最後一條線。
　

        另外，康威將遊戲結束時的圖形分成5種基本圖形：

甲蟲 Beetle	蟑螂 Cockroach	蠼 Earwig	蝨 Louse	蠍 Scorpion

其他圖形都是由這5種變形而來。
　

        對於點數很少的情況，我們可以分析出所有可能的畫法並推導出哪一方可勝。一個2點或6點的遊戲一定是後玩的人勝，而先玩的人在3, 4或5點的遊戲一定有辦法贏。

        幾年前，David Applegate, Guy Jacobson, 及Daniel Sleator在貝爾實驗室利用大量的電腦計算來分析這個遊戲，發現後玩的人在7或8點時可勝，而先玩的人在9, 10或11點時可勝。但是超過11點以後的情況就太過複雜了，連電腦都沒辦法算。

        綜合以上的情況，你有沒有發現一件有趣的事：當點數除以6之後的餘數是3, 4或5時，先玩的人總是有辦法獲得勝利。所以他們猜測，12點的遊戲應該是對後玩的人比較有利（因為12除以6之後的餘數是0）。

        至於在畫到最後一條線的人輸的規則下，則是當點數除以5之後的餘數是0或1時，對先玩的人有利。