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畢氏學派

        在希臘人的眼中「圖形」與「數字」其實是同一回事，許多數的性質，都以幾何圖形來解釋證明。當時有一群數字哲學的狂熱份子組織了一個以畢達哥拉斯（Pythagorus）為首的兄弟會，我們稱之為畢達哥拉斯學派（簡稱畢氏學派）。

        畢氏學派可以說是名符其實的「拜數字教」，他們認為每個自然數都有其不凡的意義：數字“1”是所有自然法則的根源，（或許和老子所說「一生二，二生三，三生萬物」有異曲同工之處？！）數字“2”代表“見解”(opinion)，因為任何的見解存在與其相反之見解。數字“4”代表“公正”(justice)，或許是因為4 = 2×2 是第一個可以表為兩個相同整數相乘的數，可以解釋為公平的看待兩個不同的見解。數字“5”代表“婚姻”，因為在他們眼中，奇數是陽性的，代表男性，偶數是陰性的，代表女性。5 = 2+3是第一個陰性數和陽性數的結合。（1為奇數，1 = 1×1，但“1”有其超然性，故不列入考慮）。其他例如“7”代表“健康”，“8”代表“友誼或愛情”，至於如何解釋，請各位發揮一下想像力吧！

 

        對畢氏學派而言，數與形是一家的：萬物都是數，每個整數都有「形」，因此又稱為「形數」(figurate numbers)。

        他們將數用小石子排列成各種形狀，可以排成三角形的小石子數稱為三角形數，可以排成正方形的小石子數稱為正方形數。

例如： 36 粒小石子可以排成三角形也可以排成正方形，如下圖：

              所以，36既是三角形數也是正方形數。

 

        三角形數其實是由若干個連續的自然數相加所形成的數：

而正方形數則是由若干個連續的奇數相加所形成的數，例如：

另外還有五邊形數：

 

        我們分別以S_n, T_n, P_n來代表下圖的正方形數、三角形數及五邊形數。

        

 

        利用「小石子」將抽象的數加以圖解的確有利於發現及了解一些公式。

1. 

由上圖我們不難看出：

S_n = S_n-1 + ( 2(n-1) + 1 )
    = S_n-1 + (2n-1)
    = S_n-2 + ( 2(n-2) + 1) + (2n-1)
    = S_n-2 + (2n-3) + (2n-1)
    = ……
    = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1)

因此，我們可以得到：

1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = S_n = n²
 

2. 

每個正方形數都可以看成兩個三角形數的和  S_n = T_n + T_n-1

而  T_n = T_n-1 + n

所以      n² = S_n
                  = T_n + (T_n – n)
                  = 2 T_n – n

因此，我們可得到一般三角形數的公式

T_n =  = .

另外，我們已經知道 T_n = 1 + 2 + … + n，所以我們也得到下面的公式

1 + 2 + … + n =

 

3. 
   
   

 

        觀察五角形數

可以知道

P_n+1 = P_n + (3n + 1)
        = P_n-1 + ( 3(n-1) + 1 ) + (3n + 1)
        = ……
        = 1 + 4 + 7 + … + (3n - 2) + (3n + 1)

即

P_n =
    = 3 （）
    = 3                     （由S_n得知）
    =
    =
    =

  

        畢達哥拉斯在古希臘也是一位有名的音樂家。一天，他隨意撥弄著一把單弦琴(monochord)，當他上上下下地移動弦橋以改變音調時，發現了一些特性：當弦橋在琴弦的中間點時，兩邊的弦音一模一樣；要是再移動一下弦橋，使一邊弦長佔全長五分之三，另一邊佔五分之二，琴弦就可以發出兩個美妙和諧的音調（他稱之為完美的五分法）———不同的比例會產生不同的音調。但是如果放置弦橋的位置不能將弦長等分為一個簡單的比例，所產生的兩個弦音就會非常地不和諧。

        於是，他用不同比例的弦長，定出畢氏音律：

假設某長度為1的弦所發出的音是Do，則長度為1/2的弦所發出的音就是比Do高 8 度音之高音Do；長度2/3的弦所發出的音就是比Do高 5 度音之Sol，而Do, Sol正是可由完全五分法所產生的兩個和諧音。

        對畢達哥拉斯而言，玩樂器是數學遊戲，把一根弦分成兩部分就像計算兩個數字的比例。音樂、數學、大自然，都與「比例」脫不了關係。因此，畢氏學派與後來的希臘數學家投注許多心力研究比例。

　

        下面的五角星形是畢氏學派的神秘記號：

五角星形內部隱藏著一個五邊形，連結這個五邊形的每個角，就產生一個小的倒五角星形，其內部也包含一個更小的五邊形，再連結它的每個角又可得到一個小小的五角星形……這個過程可以不斷地進行下去。但畢氏學派對五角星形最感興趣的性質當然不是它能夠自我複製，而是隱藏在它線條之內的「黃金比例」（我們將在下一單元中詳細討論）。