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σ(n)

       若n為一自然數，我們用(n)表示所有n的因數的和，數學符號的表法為。例如：

(5) = 1 + 5 = 6
(10) = 1 + 2 + 5 + 10 = 18
(100) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 25 + 50 + 100 = 217

 

如何計算σ(n)？

       對於很大的數字n，要找出n的所有因數才能算出(n)將會是一件很辛苦的事。我們若將n寫成標準分解式n =，則n的每個因數都可以寫成, 其中b₁可以是0, 1,…, a₁中的任何數，b₂可以是0, 1, … , a₂中的任何數，…，b_k可以是0, 1, … , a_k中的任何數。 

例如：

4 =
(4) = () = (1 + 2 + 4) = 7

 

12 =

因此

以數學符號表示即為

 (12) =

            =

            =

            = (1 + 3)(1 + 2 + 2²)

            = (1 + 3) (1 + 2 + 4)

            = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12

            = 28

 

一般情形為：

= (1 + p₁ + p₁² + … +) × (1 + p₂ + p₂² + …
            +) ×…× (1 + p_k + p_k² + … +)

由於

   (x – 1)(x^n-1 + x^n-2 + … + x + 1)
= (xⁿ + x^n-1 + x^n-2 + … + x) – (x^n-1 + x^n-2 + … + x + 1)
= xⁿ – 1

我們得到

因此

 (n) = (1 + p₁ + p₁² + … +) × (1 + p₂ + p₂² + … +)
              ×…× (1 + p_k + p_k² + … +)
          =

 

例如：(100) =  = 7 × = 7 × 31 = 217

是不是比(100) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 25 + 50 + 100 = 217快得多。

 

此外，我們注意到：

1. 如果n為質數，那麼n的因數只有1和n；因此，。反之，若，則表示n的因數只有1和n，所以必為質數。

2. 如果m, n互質，則(mn) =(m)(n)。

假設 m =,  n =
既然 m, n互質，表示對於任意兩個質因數p_i, q_j，p_iq_j
因此 mn =
由上面的討論，我們得知(mn) =(m)(n)。