所有的偶完全數都是三角數。
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6 = 1 + 2 + 3 = 1 + 2 + (22 – 1) |
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28 = 1 + 2 + 3 + … + 7 = 1 + 2 + 3 + … + (23 –1) |
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496 = 1 + 2 + 3 + … + 31 = 1 + 2 + 3 + … + (25 –1) |
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8128 = 1 + 2 + 3 + … + 127 = 1 + 2 + 3 + … + (27 –1) |
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33,550,336 = 1 + 2 + 3 + … + 8191 = 1 + 2 + 3 + … + (213 –1) |
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8,589,869,056 = 1 + 2 + 3 + … + 131071 = 1 + 2 + 3 + … + (217 – 1) |
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137,438,691,328 = 1 + 2 + 3 + … + 524287 = 1 + 2 + 3 + … + (219 – 1) |
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… |
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2n–1 × (2n –1) = 1 + 2 + 3 + … + (2n – 1) |
從《所有的數都是分數嗎？》那一單元中三角形數的討論，我們知道每邊皆為k個小石子所排成的三角形個數為
。
因為每一個偶完全數都是2n
– 1(2n –1) 的型式，
2n – 1(2n –1) =
是三角形數。
所有的偶完全數都以6或8結尾。
<證明>
所有的偶完全數都是2n – 1(2n –1)的型式，其中2n –1為麥爽質數，也就是說n為一質數。並且，我們可以發現24k = 16k的個位數永遠是6。
若n – 1 = 4k，
則2n – 1 = 24k的個位數是6，
2n –1 = 24k+1 –1 = 24k × 2 –1的個位數是2 – 1 = 1，
所以2n – 1(2n –1)的個位數是6。
若n – 1 = 4k + 1，
則2n – 1 = 24k+1 的個位數是2，
2n –1 = 24k+2 –1 = 24k × 4 –1的個位數是4 – 1 = 3，
所以2n – 1(2n –1)的個位數是6。
若n – 1 = 4k + 2，
則2n – 1 = 24k+2的個位數是4，
2n –1 = 24k+3 –1 = 24k × 8 –1的個位數是8 – 1 = 7，
所以2n – 1(2n –1)的個位數是8。若n – 1 = 4k + 3，
則n = 4k + 4為一不等於2的偶數，因此n不是質數，此種情況不存在。
除了6以外，所有的偶完全數都是連續奇數立方和。
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28 = 13 + 33 = 13 +
( |
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496 = 13 + 33 + 53 +
73 = 13 + 33 + 53 + ( |
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8128 = 13 + 33 +
… + 153
= 13 + 33 +
… + ( |
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33,550,336 = 13 + 33 +
… + 1273
= 13 + 33 +
… + ( |
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8,589,869,056 = 13 + 33 +
… + 5113
= 13 + 33 +
… + ( |
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137,438,691,328 = 13 + 33 +
… +
10233 = 13 + 33 +
… + ( |
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… |
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若n為奇數，則2n
– 1(2n –1) = 13 + 33 +
… + ( |
首先，我們知道
。(證明)
接著，如果n是奇數，則可以找到一個整數k，使得n = 2k + 1。
=
=
= 22k (2k+1 + 1)2 ----(1)
因此所有的偶數項2, 4, … ,= 2×2k和為
= 23(22(k-1) (2k + 1)2) = 22k+1 (2k + 1)2 ----(2)
由(1) , (2)即可得連續奇數立方和為
(22k (2k+1 + 1)2) – (22k+1 (2k + 1)2 )
= 22k ((2k+1 + 1)2 – 2(2k + 1)2)
= 22k ((22k+2 + 2k+2 + 1 ) – (22k+1 + 2k+2 + 1))
= 22k (22k+2 – 22k+1)
= 2n – 1(2n –1)
4. n為一完全數若且唯若所有n的因數之倒數和為2。
<證明>
假設n的因數為a, b, c, … 等，
則我們也可以說n的因數為,
,
,… 等。
例如：
5的因數為1, 5，而
= 5,
= 1。
16的因數為1, 2, 4, 8, 16，而= 16,
= 8,
= 4,
= 2,
= 1。
由於完全數的所有因數和恰為該完全數的兩倍，
將等式左右兩邊同除以n，便得到
+
+
+ … = 2
反過來說，若某數n的所有因數倒數和為2，則n必定是完全數。
