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親和數 (Amicable Number)

       一對自然數m, n，如果滿足s(m) = n, s(n) = m，即m, n互為對方的因數和，我們則稱m, n為一對親和數。畢氏學派發現了220和248是一對親和數。220的因數是1, 2, 4, 5, 10, 20, 22, 44, 55, 110，總和是248；另一方面，248的因數是1, 2, 4, 71, 142，它們的是220。

        220和248這一對數被認為是友誼的象徵。中世紀曾有一種熱門的護身符，護身符上就刻了這一對親和數，佩帶這種護身符的目的是促進愛情的發展。又有一說，如果分別在二只水果上刻下220及248這一對親和數，吃下第一只，然後將第二只送給所愛的人吃，就能有意想不到的效果。你相信嗎？要不要試試看呢？另外，創世紀中記載了雅各(Jacob)送給以掃(Esau)220隻山羊；早期的神學家認為山羊的數目可以解讀成雅各對以掃的摯愛之情的表達。

        其他的親和數：

1636年，費馬（Fermat）發現(17296, 18416)是一組親和數。

17296 = 2⁴×23×47,  18416 = 2⁴×1151

   s(17296) =(1 + 23)(1 + 47) – 17296
= 35712 – 17296
= 18416

   s(18416) =(1 + 1151) – 18416
= 35712 – 18416
= 17296

1638年，笛卡兒（Descartes）發現(9363584, 9437056)是一組親和數。

9363584 = 2⁷×191×383,  9437056 = 2⁷×73727

   s(9363584) =(1 + 191)(1 + 383) – 9363584
= 18800640 – 9363584
= 9437056

   s(9437056) =(1 + 73727) – 9437056
= 18800640 – 9437056
= 9363584

        事實上，阿拉伯的數學家比他們更早發現這兩組數。而尤拉在1747年也找出了30組親和數，並在不久之後進展至60組。1866年，一對被尤拉忽略了的小親和數(1184, 1210)由年僅16歲的帕格尼尼（Nicolò I. Paganini）發現。

1184 = 2⁵×37,  1210 = 2×5×11²

   s(1184) =(1 + 37) – 1184
= 2394 – 1184
= 1210

   s(1210) = (1 + 2)(1 + 5)(1 + 11 + 121) – 1210
= 2394 – 1210
= 1184

        到了1946年，我們已經發現390組親和數。經過許多人的努力，我們也依序知道小於10⁸的數中，有236組親和數；10¹⁰以內的數中，有1427組親和數；而10¹¹以內則有3340組；再推展至2.01×10¹¹，就會有4316組；目前所知最廣的範圍則是3.06×10¹¹，共有5001組親和數。