費氏數列及黃金分割

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十三世紀的義大利數學家費伯納西 (Fibonacci) 寫了一本商用的算術和代數手冊《Liber abacci》。在這本書裏，他提出了這麼一個有趣的問題：假定一對兔子在它們出生整整兩個月以後可以生一對小兔子，其後每隔一個月又可以再生一對小兔子。假定現在在一個籠子裡有一對剛生下來的小兔子，請問一年以後籠子裏應該有幾對兔子？

讓我們仔細地算一下。第一、第二個月，小兔子長成大兔子，但還沒成熟不能生小兔子，所以總共只有一對。第三個月，原有的一對大兔子生了一對小兔子，現在一共有二對了。第四個月，大兔子又生了一對小兔子，但是第二代的那對小兔子還沒成熟，還不能生小兔子，所以總共有三對。第五個月，第一、二兩代的兩對兔子各生了一對小兔子，連同四月份原有的三對，現在一共有五對了。第六個月，在四月份已經有的三對兔子各生一對小兔了，連同五月份原有的五對兔子,現在一共有八對了。依此類推，每個月份所有的兔子對數應該等於其上一個月所有的兔子對數（也就是原有的兔子對數）及其上上個月所有的兔子對數（這些兔子各生了一對小兔子）的總和。所以每個月的兔子對數應該是1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、…，每一項都是前兩項之和。因此，一年後籠子裡應該有233對兔子了。
　

月份

成兔

幼兔

總數

1

1

2

1

3

2

4

3

5

5

6

8

7

13

這些兔子的數目我們稱之為費氏數（Fibonacci numbers）。為方便起見，我們用 F_n 表示第 n 代兔子的數目。



        我們觀察到

                          F₁ = F₂ = 1
而當 n≧3 時，F_n = F_{n - 1} + F_{n – 2}

F₁

F₂

F₃

F₄

F₅

F₆

F₇

F₈

F₉

F₁₀

F₁₁

F₁₂

F₁₃

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

144

233

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F₁	F₂	F₃	F₄	F₅	F₆	F₇	F₈	F₉	F₁₀	F₁₁	F₁₂	F₁₃
1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233