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鳳梨與費氏數列

        除了在松果的鱗片、向日葵上的小花可以看到明顯的生成螺線外,鳳梨上的生成螺線更是清楚可數,因為它的外皮可被分成一些幾乎是六角形的小格子,如下圖。其中有五條較平緩的平行螺線往右上旋,有八條較陡的平行螺線往左上旋,另外還有更陡的十三條平行螺線是往右上旋。


        如果我們將鳳梨視為一個圓柱體,並延著一條垂直線將它切開攤平,便得到一個長方形,其左右兩邊表示的是同一條線
——圓柱體被切開的地方。我們令左方的邊為 x = 0,而右方的邊為 x = 1,下方的邊是 y = 0

鳳梨上一小塊一小塊的六角形小格子是依時間先後,一片片長出來的,而且它們與前一片的距離都是等距。假設它們以 (0, 0) 為起始點,所以我們在位於 (0, 0) (1, 0) 位置(其實是同一點)的六角形小格子上標記 0,接著再依生成順序在其他六角形小格子上做標記,這樣才知道它們與 (0, 0) 的距離。若發散角為黃金角,則第 1 塊六角形小格子的座標為 (, h)(Φ 是黃金比值,,即 Φ 的小數部分),而第 n 塊六角形小格子的位置是 (x, nh),其中 x nΦ 的小數部分(任意一個數都可分成整數部分與小數部分,如:3.14 的整數部分是 3,小數部分是 0.14)。如果把這個長方形裹在一個圓柱體上,就會看到一條條螺線像梯子一樣盤旋而上。 

        既然兩個連續費氏數之比會趨近於黃金比值,即 ,表示 Fk.Φ 幾乎就是Fk+1(正整數),所以 Fk.Φ  的小數部分幾乎等於 0。所以,標記為費氏數 Fk 的六角形小格子會很靠近切割線 x = 0 ( x = 1),且隨著 k 愈大會愈靠近。此外,觀察每條構成幾乎是垂直線的六角形小格子,上面的標記都相差某個費氏數。 

        不同的 h 會使螺線排列有一點不同,例如:令 就可以讓標記為 0 的六角形小格子與標記為 5, 8, 13, -5, -8, -13 的六角形小格子相鄰,如上圖。而且,圖中最明顯的那些螺線,相鄰的六角形小格子的標記都相差 F6 = 8,如:由 0 往左上斜的 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48……,或由 3 開始的 3, 11, 19, 27, 35, 43, 51……等。

 

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