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費氏數的神奇性質

1. 如果你把前五個費氏數加起來再加 1，結果會等於第七個費氏數；如果把前六個費氏數加起來，再加 1，就會得出第八個費氏數。那麼前 n 個費氏數加起來再加 1，會不會等於第 n + 2 個費氏數呢？

1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 1 = 13
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 1 = 21
　

由於每一個費氏數都是其前兩項費氏數的和，

　

事實上，我們的確可以利用數學歸納法證明

F₁ + F₂ + …… + F_n + 1 = F_{n + 2}            (證明)


2. 如果我們分別對偶數項與奇數項做加法運算的話，情形又如何呢？

1 + 2 + 5 = 8
1 + 2 + 5 + 13 = 21
1 + 1 + 3 + 8 = 13
1 + 1 + 3 + 8 + 21 = 34

我們可以得到下列的結果：

F₁ + F₃ + …… + F_{2n - 1} = F_2n
1 + F₂ + F₄ + …… + F_2n = F_{2n + 1}             (證明)
　

3. 更不可思議的是，如果我們把第三項的平方加上第四項的平方會得到第七項。