把費氏數列中的每一項用前一項來除,我們得到一個新數列:
1, 2, 1.5, 1.67, 1.6, 1.63, 1.615, 1.619, 1.618, .....
計算過程如下:
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下圖中橫軸為
n
的值,縱軸為
的取值:
看起來好像會趨近某個定值,大約為1.61……。
讓我們用 Gn
表示新數列的第
n
項
。因為
Fn
=
Fn - 1 + Fn – 2 ,所以
Gn
的確會收斂到某一定值,我們稱之為 Φ (讀作phi)(證明)。直觀上,當
n
很大時,不論是
Gn
或
Gn-1
與 Φ
之差都會很小,可以忽略不計。所以由
這個式子我們可以推得
,亦即
Φ2
– Φ – 1 = 0,利用解二次方程式根的公式而算得
我們注意到 Φ 滿足下面兩個式子:
Φ2 = Φ + 1
因此如果我們考慮下面的等比數列:
此數列則擁有費氏數列的特徵,亦即相鄰兩項的和等於下一項。
由上面我們知道
,因此