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費氏數列前後項的比值

         把費氏數列中的每一項用前一項來除，我們得到一個新數列：

1, 2, 1.5, 1.67, 1.6, 1.63, 1.615, 1.619, 1.618, .....

計算過程如下：

　

下圖中橫軸為 n 的值，縱軸為 的取值：

看起來好像會趨近某個定值，大約為1.61……。

 

        讓我們用 G_n 表示新數列的第 n 項 。因為 F_n = F_{n - 1} + F_{n – 2} ，所以

G_n 的確會收斂到某一定值，我們稱之為 Φ (讀作phi)（證明）。直觀上，當 n 很大時，不論是 G_n 或 G_n-1 與 Φ 之差都會很小，可以忽略不計。所以由 這個式子我們可以推得 ，亦即 Φ² – Φ – 1 = 0，利用解二次方程式根的公式而算得

　

        我們注意到 Φ 滿足下面兩個式子：

Φ² = Φ + 1

 因此如果我們考慮下面的等比數列：

 

此數列則擁有費氏數列的特徵，亦即相鄰兩項的和等於下一項。

 

Φ 的連分數表法

        由上面我們知道 ，因此