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算命仙的神機妙算

        從前，在某個市集裡住著一位算命仙。他家門口掛了一個招牌寫著：“神機妙算，一回一千元！如果算得不準，保證退錢”商人們看了，都爭相來算命。

        第一個來算命的是賣碗的商人。算命仙收了一千元後，假裝唸了一些咒語，說：「啊哈！如果碰到從東方來的人，你就會賺到錢。」商人想到今天會賺錢，就開開心心地離開了。

        之後又有賣麥芽糖的商人、賣糕餅的商人與賣肉的商人前來算命，算命仙都對他們依樣畫葫蘆，假裝唸了一些咒語，然後說：「啊哈！如果碰到從東方來的人，你就會賺到錢。」 

        當天晚上，賣碗商高興的跑來找算命仙。『真是謝謝您，我真的碰到來自東方的人，結果賺了很多錢，您真是太準了。』算命仙笑著說：「那是當然的，以後歡迎再來算命啊。」

        當賣碗商回去後，麥芽糖商人氣呼呼地找來了。『根本就不準嘛！我今天遇到從東方來的人，卻一毛錢也沒賺到！』算命仙摸著下巴說：「那就奇怪了，不過既然不準，錢就還給你吧。」

        當麥芽糖商人回去後，糕餅商人也怒氣衝天的跑進來。『今天我都沒賺到錢，把我的錢還給我！』算命仙停頓了一下，問說：「那麼，是否有碰到來自東方的人呢？」糕餅商搔著頭說：『沒有耶，只碰到來自南方的人。』「那就對啦，我是說你如果碰到從東方來的人就會賺錢，可沒說碰到從南方來的人會賺錢啊。」糕餅商聽這話似乎有理，就回去了。

        最後賣肉的商人也來了。『今天我的確是賺到了錢，但不是碰到來自東方的人，而是來自北方的人。所以你算錯了吧？』算命仙露出一付不可理喻的表情說：「嘿，這位兄弟，我是說你如果碰到從東方來的人就會賺錢，何時說你碰到從北方來的人就不會賺錢啊？我可沒這麼說喔。」賣肉商人覺得有理，點點頭回去了。

        當所有商人回去後，算命仙露出笑容：「賺錢真是簡單啊！四個人來算命都給一樣的答案，竟然有三個是準確的，足足賺了三千啊。嘻嘻嘻！」
　

（取材自『邏輯，你好』，稻田出版）
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蘊涵命題（條件命題）「如果…就…」：

        兩個命題變數 p, q 可以用「若 p 則 q」(if p then q) 的蘊涵（implication）方式連接，邏輯符號的表法為 pq。中文口語上的說法則為「如果 p 就 q」，意思是如果 p 是真那麼 q 也一定為真。例如：「如果下雨地就是溼的。」「若 p 則 q」的真偽值表如下：

p	q	pq
真 真 偽 偽	真 偽 真 偽	真 偽 真 真

在這種情形之下，p 稱為 q 的充分條件。我們注意到「pq」為偽只發生在 p 為真及 q 為偽的情況下。
  

p	q	p(~q)
真 真 偽 偽	真 偽 真 偽	偽 真 偽 偽

上面的真偽值表顯示了條件否定律（Law of negation for conditional sentence）

~(pq)  p(~q)

 

        換個角度來看，既然下雨地就會溼；那麼如果地是乾的，就一定是沒有下雨。下面的真偽值表可以反應這個關係：

p	q	~p	~q	(~q)(~p)
真 真 偽 偽	真 偽 真 偽	偽 偽 真 真	偽 真 偽 真	真 偽 真 真

 「非 q 則非 p」為「若 p 則 q」之逆轉命題（contrapositive），和「若 q 則 p」為等價之命題。我們稱 q 為 p 之必要條件。

        故事中的算命仙就是巧妙地運用了這種條件命題而賺到錢的。讓我們來研究一下他是如何辦到的。

        我們考慮“ p = 碰上來自東方的人，q = 賺到錢 ”有四種情形會發生：

1. 碰到來自東方的人，而賺到錢。

2. 碰到來自東方的人，但沒有賺到錢。

3. 沒有碰到來自東方的人，而賺到錢。

4. 沒有碰到來自東方的人，也沒賺到錢。

然而，算命仙算不準的情形即是「如果 p 就 q」為偽的情形。上面的真偽值表清楚的顯示只有在 2 的情形之下才會發生。所以，用「如果 p 就 q」的方法幫人家算命，總會有四分之三機率是準確的。因此，即使承諾「如果算不準就退錢」，算命仙仍然可能賺到錢。因為，算不準的機準只有四分之一。小心別上當哦！

        大人常對小孩說：「如果你乖乖，我就給你糖吃。」不知道有沒有小孩了解，即使不乖，還是可能有糖可吃這件事呢？不過，一個沒糖吃的小孩，是肯定不乖的。