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函數（Function） 

        一般人常認為數學中充滿了數，也充滿了“公式”。沒錯，在數學中我們希望找到適當的“公式”來描述狀態或現象。
　

        以圓來說吧！所謂圓就是平面上所有到某定點（圓心）距離為某固定數（半徑）的點所成的集合。由畢氏定理得知平面上兩點 (x₀, y₀), (x₁, y₁) 的距離為 。

　

而既然圓上的點 (x, y) 與圓心 (x₀, y₀) 的距離就是半徑 r，即

將等式兩邊一起平方，便得出了圓的“公式”：

(x – x₀)² + (y – y₀)² = r²

然而描述這類“公式”的工具，是數學上所稱的函數（function）。因此，我們在介紹微積分之前得先說說什麼是函數。

        什麼是函數？函數就好像一個魔術師的戲法箱，只要給適當“輸入”就一定會有“輸出”，而且相同的輸入必定會得到相同的輸出。

舉例來說：若車速固定為 （等速運動），

1 分鐘後，車子行駛的距離為 1.5 公里。
2 分鐘後，車子行駛的距離為 3 公里。
3 分鐘後，車子行駛的距離為 4.5 公里。
4 分鐘後，車子行駛的距離為 6 公里。
      ：
      ：

其實，由“公式”

我們知道 t 分鐘後車子行駛的距離為 公里。

如此，我們輸入的值是車子行駛的時間，輸出的值是車子行駛的距離，我們就得到一個函數描述該車的行駛狀況。

　

        在上例中，我們通常以符號 來表示這個距離函數。其中 f 是函數的名稱（當然不一定要叫 f，也可以取其他的名字），小括號裡面放的是輸入的時間，等式右邊則是輸出的距離。 這個函數也可以用平面圖形來表示：橫座標為輸入值，縱座標為輸出值。

　

由這個函數圖形我們可以看出當輸入值為 1 分鐘時，輸出值對應到 1.5 公里；而輸入值為 2 分鐘時，輸出值則對應至 3 公里。

       

        函數觀念的產生使數字能夠描述“運動”或動態的事物。再看看另一個等速度運動的例子，若車速固定為 ，則會得到距離函數

g(t) = t（t的單位為分鐘）

 它的函數圖形如下：

　

        如果行車速度固定為每小時 v₀ 公里，距離函數則為 公里（t 以分鐘為單位），函數圖形都會是一條直線。而且這條直線的斜率為

換個角度想， 可以說是 f (t) 從 t₂ 到 t₁ 之間的平均速度，也就是平均變化率。因為這裡的運動為等速度，所以每一瞬間的速度也等於平均速度。

 

        然而，我們常常會遇到非等速運動，其函數圖形無法以一條直線來表示，如下圖，那麼對於這樣的函數，我們有辦法知道每一刻的“瞬間速度”嗎？